Задача про треугольник. Видео: popularmechanics.com
На первом фото виден прямоугольный треугольник, состоящий из четырех фигур. После их перемещают, вписывая в другой треугольник — но остается дополнительный квадрат ровно в середине.
Что случилось? Это какой-то фокус или одна из форм изменилась? Монтажа нет, но лишняя фигура появляется.
Такие головоломки дают возможность научиться размышлять и развивать навыки критического мышления. Ведь математика — это не отработка навыков и зубрение правил, но и способ мышления. Вот какие вопросы стоит себе задать, если думаете над головоломкой.
Во-первых, почему мы знаем, что что-то не так?
Ответ может показаться очевидным, но это важно. У вас есть четыре разные фигуры, и в первой позиции вы визуально прилагаете их одну к одной, чтобы получить треугольник. Во второй позиции вы визуально складываете их по площади и получаете то же плюс еще один квадрат. Мы внимательно наблюдали за формами и знаем, что ни одна из них не изменилась в размерах. Мы знаем, что площадь сохраняется, когда мы перемещаем фигуры. Вроде бы нет никакого способа получить эту дополнительную квадратную единицу.
Основываясь на этой уверенности, мы потом спрашиваем: было ли что-то такое, что мы допускаем «на автомате», но чего могло бы и не быть?
Со временем и настойчивостью вы сможете самостоятельно найти ключ к решению этой задачи, стоит попробовать!
Будьте бдительны, ниже — решение головоломки!
Мы знаем, что все четыре фигуры одинаковы до и после, но мы предположили, что большой прямоугольный треугольник остался того же размера и формы. Это предположение было нашей ошибкой! Оказывается, что треугольник «до» имеет не ту же форму, что треугольник «после». На самом деле, ни один из них вообще не треугольник!
Как для «до» и «после» предполагаемая гипотенуза (самая длинная сторона) прямоугольного треугольника не является прямой линией. Чтобы понять это, нам нужна геометрическая концепция, называемая похожестью.
Если две фигуры похожи, то углы измерения одинаковы, а длины сторон пропорциональны. Вот пример. Ниже мы имеем настоящий прямоугольный треугольник с длинами сторон 20, 48 и 52. Вы можете создать уйму прямоугольных треугольников, похожих на него. Они показаны внутри пунктирными линиями.
Таких треугольников можно вложить один в один очень много.
Похожие треугольники с размерами катетов 48:20, 24:10 и 12: 5. Соотношение сторон, следовательно, всегда 2.4:1
Посмотрите на отношения «длинной стороны» каждого из треугольников к «короткой стороне» (эти стороны для прямоугольных треугольников называются катетами). Они всегда одинаковы. 48:20 для самого большого треугольника, 24:10 для среднего и 12:5 для самого маленького. Каждое из этих отношений эквивалентно 2.4: 1. Не забывайте, это также означает, что у них равные углы! Теперь посмотрите еще раз на треугольники в нашей головоломке. Длина сторон указана для каждого из них.
Треугольники с размерами сторон 13:5 (2.6:1), 8:3 (2.667:1) и 5:2 (2.5:1). Отношения сторон каждый раз разные.
Отношения сторон треугольников не одинаковы. Это означает, что треугольники не похожи, что тоже значит, что их углы не совпадают. Мы приходим к выводу, что вложить один в один, как это сделано в начале головоломки, невозможно. В чем подвох?
Наш «треугольник» до и после перестановок
На самом деле, большой «треугольник», состоящий из меньших частей, не имеет прямой линии к гипотенузе. То есть он никакой даже не треугольник. В первой позиции поддельная гипотенуза отклоняется от настоящего треугольника.
Во втором случае неровные углы приводят к тому, что фальшивая гипотенуза изгибается за пределы гипотенузы настоящего треугольника. Вот схематическое изображение треугольников «до» и «после», чтобы показать изгиб. Пунктирная линия показывает, где будет находиться истинный прямоугольный треугольник. Конечно, различия гораздо меньшие и поэтому нас легко обмануть, заставляя поверить, что мы видим истинный треугольник с прямой гипотенузой.
Первый и второй случай на самом деле — всякий раз иллюзией является то, что это треугольник, а мы смотрим на видео или монтаж
Этот изгиб отвечает на вопрос, как дополнительный квадрат появился в середине второго поддельного треугольника. Изгиб внутрь от первого треугольника и изгиб наружу от второго примерно составляют одну квадратную единицу. Представьте, что вы разрезаете квадрат на маленькие кусочки, которые могут занять место, которого не хватает на первом рисунке, плюс то, что добавляет второе изображение. Так мы получаем дополнительную площадь в одну квадратную единицу.
В конце концов, эта головоломка основана на очень тонком изменении, но, что более важно, на непроверенной догадке, которую мы делаем во время просмотра видео. Решение таких математических головоломок обостряет наше математическое мышление. Она напоминает нам, что нужно критиковать все без исключения предположения и допущения. Потом мы можем логически перейти к процессу вопросов и ответов, основанных на этих предположениях.
Используйте эти подходы при рассмотрении любого математического аргумента. Вскоре вы заметите, что математические ошибки появляются во многих местах.
